五边形数定理

关于欧拉函数的展开式

与分割函数p(x)p(x)(x分成多少个自然数之和)关系



可得

$$\prod\limits_{n=1}^{\infty}(1-x^n)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}(-1)^kx^{\frac{k(k\pm 1)}{2}}$$
$$=1-x-x^2+x^5+x^7-x^{12}-x^{15}+x^{22}+x^{26}\dots$$
$$\frac{1}{\phi(x)}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}p(x)x^k$$
$$(1-x-x^2+x^5+x^7-x^{12}-x^{15}+x^{22}\dots)(1+p(1)x+p(2)x^2\dots)=1$$
$$p(n)=p(n-1)+p(n-2)-p(n-5)-p(n-7)+...$$